# はじめに
3次元球面座標で定義された有界なスカラー関数 $U(r, \theta, \phi)$ がLaplace方程式 $\nabla ^2 U = 0$ を満たすとき、$U$ は一般に
&&&fml 球面調和関数展開
$$
\begin{align}
&U (r, \theta, \phi) \cr
&= \sum _{n=0} ^{\infty} \sum _{m=0} ^{n} \left\{
\left( {g _n ^{~m}} \cos m\phi + {h _n ^{~m}} \sin m\phi \right) \left(\frac{~ 1 ~}{r} \right)^{n+1}
+ \left( {q _n ^{~m}} \cos m\phi + {s _n ^{~m}} \sin m\phi \right) r^{n}
\right\}
P _n ^{~m} (\cos \theta).
\end{align}
$$
&&&
で書くことができる[[小話1](#小話1)]。ここで、$P _n ^{~m} (\cos \theta)$ は第一種Legendre陪関数である。これを $U$ の**球面調和関数展開**という。
球面調和関数展開は電磁気学で多重極子を考えるときなどに登場する重要な概念である。本記事ではできるだけ議論を端折らずに上記の一般解を導出し、関連する数学の話をまとめる。
## 球面調和関数
調和関数とは、Laplace方程式の解となるスカラー関数 $f$ のことである。
&&& Laplace方程式
$$\nabla ^2 f = 0.$$
&&&
特に、これを3次元球面座標系 $(r, \theta, \phi)$ において (変数分離を用いて) 解いた解 $f(r, \theta, \phi) = Y_n ^{~m}$ を**球面調和関数**という[[小話2](#小話2)]。
> 実数値関数の範囲での球面調和関数の概形 *[1]
> <p><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Real_Spherical_Harmonics_Figure_Table_Complex_Radial_Magnitude.gif#/media/File:Real_